Modelos deterministicos de enfermedades contagiosas

Lamentablemente estos días las noticias relacionadas con la "epidemia" del coronavirus están muy presentes en todos los medios de comunicación, y también en el día a día.

Un ejemplo de las capacidades de un microcontrolador  de 8bits (Arduino) es la simulación de modelos determinísticos de enfermedades contagiosas.

Los modelos SIR y SEIR son dos de los más utilizados, y sus nombres se corresponden con los estados (compartimientos) que simula cada modelo. Estos modelos tratan de representar el número de elementos en un determinado momento (usualmente días) en cada estado, es decir, es una foto instantánea de la población a simular y su distribución en los estados definidos en el modelo.

El modelo SIR (Kermack WO, McKendrick AG .1927)  es aplicable a enfermedades como la rubeola, el sarampión y las paperas. Este modelo utiliza tres estados posibles  :

     Susceptible -> Infectado > Recuperado

Se asume que la suma de todos los elementos en cada compartimiento es constante y representa el total de la población a simular.

A continuación el script de este modelo y una imagen de la simulación:

// // SIR with vital dynamics // beta : The parameter controlling how often a susceptible-infected // contact results in a new infection. // gamma: The rate an infected recovers and moves into the // resistant phase. // mu and nu represents the birth and death rates . // This models a population of a constant size. // int i,t ; float beta,gamma,mu,nu,tfac; float pop,sus,inf,rec; float s1,i1,r1; void setup() { Serial.begin(19200); sus=49995.0; // Initial Susceptible inf=5.0; // Initial Infected rec=0.0 ; // Initial Recupered pop=sus+inf+rec; // Population simulated tfac=10.0; // X axis factor beta=0.7/pop/tfac; gamma=0.2/tfac; mu=0.0/tfac; nu=0.0/tfac; t=500; // Dyas simulated //Serial.print ("Days" ); Serial.print(" "); Serial.print ("Susceptible" ); Serial.print(" "); Serial.print ("Infected" ); Serial.print(" "); Serial.print ("Recovered" ); Serial.print(" "); Serial.print ("Population" ); Serial.print(" "); for (i=1;i<=t;i++) { s1= mu*rec -beta*sus*inf - nu*sus; i1= beta*sus*inf - gamma*inf - nu*inf; r1= gamma*inf - mu*rec; //Serial.print (i); Serial.print(" "); Serial.print (sus); Serial.print(" "); Serial.print (inf); Serial.print(" "); Serial.print (rec); Serial.print(" "); Serial.println ( pop); sus=sus + s1; inf=inf + i1; rec=rec + r1; } } void loop() { // Nothing to do }    

El modelo SEIR es aplicable a enfermedades como la malaria, ébola y SARS. Este modelo utiliza  cuatro estados (compartimientos) posibles  :

     Susceptible -> Expuesto -> Infectado > Recuperado

Se asume que la suma de todos los elementos en cada compartimiento es constante y representa el total de la población a simular.
// // SEIR with vital dynamics // beta The parameter controlling how often a susceptible-infected // contact results in a new exposure. // gamma The rate an infected recovers and moves into the resistant // phase. // sigma The rate at which an exposed person becomes infective. // mu The natural mortality rate (this is unrelated to disease). // nu The natural birth rate . // This models a population of a constant size. // JLG biolansys 02/2020 // int i,t ; float alfa,beta,gamma,sigma,theta,mu,nu,tfac; float pop,sus,expo,inf,rec; float s1,e1,i1,r1; void setup() { Serial.begin(115200); sus=99999.0; // Initial Susceptible expo=0.0; // Initial Exposed inf=1.0; // Initial Infected rec=0.0 ; // Initial Recupered pop=sus+expo+inf+rec; // Total Population tfac=5.0; //x axis factor beta=0.9/pop /tfac; gamma=0.5/tfac; sigma=0.2/tfac; mu=0.01/tfac; nu=0.005/tfac; t=500; // Days simulated //Serial.print ("Days" ); Serial.print(" "); Serial.print ("Susceptible" ); Serial.print(" "); Serial.print ("Exposed" ); Serial.print(" "); Serial.print ("Infected" ); Serial.print(" "); Serial.print ("Recovered" ); Serial.print(" "); Serial.print ("Population" ); Serial.print(" "); for (i=1;i<=t;i++) { s1= mu*(pop-sus) - beta*sus*inf -nu*sus ; e1= beta*sus*inf - ( mu + gamma) *expo; i1= gamma*expo - (mu + sigma ) *inf ; r1= sigma*inf - mu*rec + nu*sus; //Serial.print (i); Serial.print(" "); Serial.print (sus); Serial.print(" "); Serial.print (expo); Serial.print(" "); Serial.print (inf); Serial.print(" "); Serial.print (rec); Serial.print(" "); Serial.println ( pop); sus=sus + s1; expo=expo + e1; inf=inf + i1; rec=rec + r1; } } void loop() { // Nothing to do }    

En ambos modelos se consideran los efectos de nacimientos y muertes (no relacionadas con la enfermedad) en la población estudiada.

Los gráficos mostrados se generaron mediante la opción Serial Plotter del IDE de Arduino. Se utiliza la variable tfac para ajustar el gráfico en el eje X.